Изометрические операторы и их свойства

Пусть $V_1$ и $V_2$ — унитарные (евклидовые) пространства. Линейный оператор $\mathcal{A}\colon V_1 \to V_2$ называется ***изометрией***, если для любого вектора $v \in V_1$: $$ |\mathcal{A} v| = |v| $$

Линейный оператор $\mathcal{A}\colon V_1 \to V_2$ является изометрией $\iff$ для всех $v_1, v_2 \in V_1$: $$ (v_1, v_2) = (\mathcal{A} v_1, \mathcal{A} v_2) $$

$\Large\implies$ Пусть $\mathcal{A}$ — изометрия. Возьмем $x, y \in V_1$. Рассмотрим $|x + y|^2$ и $|\mathcal{A}(x + y)|^2$: $$ |x + y|^2 = |x|^2 + |y|^2 + (x, y) + (y, x) $$ $$ |\mathcal{A} x + \mathcal{A} y|^2 = |\mathcal{A} x|^2 + |\mathcal{A} y|^2 + (\mathcal{A} x, \mathcal{A} y) + (\mathcal{A} y, \mathcal{A} x) $$ Поскольку $|\mathcal{A}(x + y)| = |x + y|$ и $|\mathcal{A} x| = |x|$, $|\mathcal{A} y| = |y|$, то: $$ (x, y) + (y, x) = (\mathcal{A} x, \mathcal{A} y) + (\mathcal{A} y, \mathcal{A} x) \qquad (1) $$ В евклидовом случае дальше доказывать нечего. В комплексном случае сделаем подстановку $x = ix$: $$ (ix, y) + (y, ix) = (\mathcal{A} ix, \mathcal{A} y) + (\mathcal{A} y, \mathcal{A}ix)$$ По св-вам скалярного произведения: $$ i(x, y) - i(y, x) = i(\mathcal{A} x, \mathcal{A} y) - i(\mathcal{A} y, \mathcal{A}x) |\mathpunct{:}i$$ $$ (x, y) - (y, x) = (\mathcal{A} x, \mathcal{A} y) - (\mathcal{A} y, \mathcal{A} x) \qquad (2) $$ Решая систему уравнений (1) и (2), получаем $(x, y) = (\mathcal{A} x, \mathcal{A} y)$. $\Large\impliedby$ Если скалярное произведение сохраняется, то для любого $v \in V_1$: $$ |\mathcal{A} v|^2 = (\mathcal{A} v, \mathcal{A} v) = (v, v) = |v|^2 \implies |\mathcal{A} v| = |v| $$ А значит $\mathcal{A}$ по определению является изометрией $\square$

Пусть $V_{1}$ и $V_{2}$ - унитарные (евклидовы) пространства, $\mathcal{A}\mathpunct{:}~~ V_{1} \to V_{2}$. Тогда: 1. $\mathcal{A}$ - изометрия $\iff$ ${} \mathcal{A}\mathcal{A}^{*} = \mathcal{E}_{V_{1}} {}$ или $\mathcal{A}^{*}\mathcal{A} = \mathcal{E}_{V_{2}}$ 2. Если $V_{1} = V_{2}$, то $\mathcal{A}^{*} = \mathcal{A}^{-1}$ $\mathcal{E}_{V_{1}}$ - тождественный оператор на $V_{1}$, $\mathcal{E}_{V_{2}}$ - на $V_{2}$

**Следствие 1** $\Large\implies$ По теореме для любых $x, y \in V_{1}$: $$(x, y) = (\mathcal{A}x, \mathcal{A}y) = (x, \mathcal{A}^{*}\mathcal{A}y)$$ По ослабленному закону сокращения: $$(y - \mathcal{A}^{*}\mathcal{A}y) = 0 \overbrace{ \implies }^{ * } y(\mathcal{E} - \mathcal{A}\mathcal{A}^{*}) = 0 \overbrace{ \implies }^{ * } \mathcal{A}\mathcal{A}^{*} = \mathcal{E}_{V_{1}}$$ $*$ - так как $x$ и $y$ - любые. Аналогично, $\mathcal{A}^{*}\mathcal{A} = \mathcal{E}_{V_{2}}$ $\Large\impliedby$ Пусть $\mathcal{A}\mathcal{A}^{*} = \mathcal{E}_{V_{1}}$, тогда: $$\forall{x, y \in V_{1}}\mathpunct{:}~~ (\mathcal{A}x, \mathcal{A}y) = (x, \mathcal{A}^{*}\mathcal{A}y) = (x, y)$$ а значит $\mathcal{A}$ - изометрия. **Следствие 2** Так как $V_{1} = V_{2}$: $$\mathcal{A}^{*}\mathcal{A} = \mathcal{A}\mathcal{A}^{*} = \mathcal{E} \implies \mathcal{A}^{*} = \mathcal{A}^{-1}$$ $\square$

Пусть $\mathcal{A}\colon V \to V$ — изометрия. Если $\lambda$ — собственное значение $\mathcal{A}$, то $|\lambda| = 1$.

Пусть $x$ — собственный вектор: $\mathcal{A} x = \lambda x$. Тогда: $$ |\mathcal{A} x| = |\lambda x| = |\lambda| \cdot |x| $$ Поскольку $\mathcal{A}$ — изометрия, $|\mathcal{A} x| = |x|$, следовательно: $$ |\lambda| \cdot |x| = |x| $$ Так как $x \neq 0$, то $|\lambda| = 1$. $\square$

1. Если $\mathcal{A}\colon V \to V$ — изометрия, то $\mathcal{A}$ переводит любой ОНБ $V$ в ОНБ. 2. Если $\mathcal{A}$ переводит некоторый ОНБ в ОНБ, то $\mathcal{A}$ — изометрия.

**Часть 1**: Пусть $e_1, \dots, e_n$ — ОНБ. Так как $\mathcal{A}$ сохраняет скалярное произведение (по теореме об изометрии): $$ (\mathcal{A} e_i, \mathcal{A} e_j) = (e_i, e_j) = \delta_{ij} $$ где $\delta_{ij}$ - символ Кронекера. Следовательно, $\mathcal{A} e_1, \dots, \mathcal{A} e_n$ — ОНБ. **Часть 2**: Пусть $\mathcal{A}$ переводит ОНБ $e_1, \dots, e_n$ в ОНБ. Для произвольного $v = \sum\limits_{k=1}^n c_k e_k$: $$ \mathcal{A} v = \sum_{k=1}^n c_k \mathcal{A} e_k $$ Заметим, что квадраты длин равны: $$ |v|^2 = \sum_{k=1}^n |c_k|^2, \quad |\mathcal{A} v|^2 = \sum_{k=1}^n |c_k|^2 $$ Следовательно, $|\mathcal{A} v| = |v|$ для всех $v \in V$, то есть $\mathcal{A}$ — изометрия. $\square$

Пусть $V$ — унитарное пространство. Оператор $\mathcal{A}\colon V \to V$ является унитарным (изометрией) $\iff$ существует ОНБ, в котором матрица $\mathcal{A}$ диагональна с собственными значениями $|\lambda_i| = 1$.

$\Large\implies$ Пусть $\mathcal{A}$ унитарен (изометрия). Тогда $\mathcal{A}$ нормален ($\mathcal{A}^* \mathcal{A} = \mathcal{E}$). По теореме о структуре для нормальных операторов: $\mathcal{A}$ диагонализируем в ОНБ, на диагонали стоят собственные значения $\lambda_{i}$, для которых по лемме $|\lambda_i| = 1$ $\Large\impliedby$ Пусть в ОНБ $e_1, \dots, e_n$ оператор $\mathcal{A}$ диагонален: $\mathcal{A} e_j = \lambda_j e_j$ с $|\lambda_j| = 1$. Возьмем $x = \sum\limits_{k=1}^{n} x_k e_k$ и $y = \sum\limits_{m=1}^{n} y_m e_m$. Тогда: $$ (\mathcal{A} x, \mathcal{A} y) = \left( \sum_{k=1}^{n} x_k \lambda_k e_k, \sum_{m=1}^{n} y_m \lambda_m e_m \right) $$ В силу ортонормированности базиса $(e_k, e_m) = \delta_{km}$, поэтому: $$ = \sum_{k=1}^{n} \sum_{m=1}^{n} x_k \bar{y}_m \lambda_k \bar{\lambda}_m (e_k, e_m) = \sum_{k=1}^{n} x_k \bar{y}_k \lambda_k \bar{\lambda}_k $$ Так как $|\lambda_k| = 1$, то $\lambda_k \bar{\lambda}_k = 1$: $$ = \sum_{k=1}^{n} x_k \bar{y}_k \cdot 1 = (x, y) $$ Следовательно, $\mathcal{A}$ унитарен (изометрия). $\square$

Пусть $V$ - евклидово пространство. Оператор $\mathcal{A}\colon V \to V$ является изометрией $\iff$ существует ОНБ, в котором матрица $\mathcal{A}$ блочно-диагональна, причём: 1. Блоки $1 \times 1$ содержат $\pm 1$ 2. Блоки $2 \times 2$ имеют вид: $$ \begin{pmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi \\ -\sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix} $$

$\Large\implies$ Поскольку $\mathcal{A}$ — изометрия, $\mathcal{A}$ нормален, а значит по теореме о структуре в некотором ОНБ его матрица состоит из блоков: 1) $1\times 1$ блок из $\lambda$. Так как $|\lambda| = 1 \implies$ блок $1 \times 1$, содержащий $\pm 1$ 2) $2 \times 2$ блок вида $\rho \begin{pmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi \\ -\sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix}$ Рассмотрим второй блок на месте $k, k+1$: (на $k+1$ аналогично) $$\mathcal{A} e_k = \rho (\cos\alpha\, e_k - \sin\alpha\, e_{k+1})$$ Тогда: $$|\mathcal{A} e_k|^2 = \rho^2 \cos^2\alpha + \rho^2 \sin^2\alpha = \rho^2 (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = \rho^2$$ Поскольку $|e_k|^2 = 1$, получаем: $$|\mathcal{A} e_k|^2 = |e_k|^2 = 1 \implies \rho^2 = 1 \implies \rho = \pm 1$$ А значит блок $2 \times 2$ имеет вид: $$\begin{pmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi \\ -\sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix}$$ $\Large\impliedby$ (очев.) Воспользуемся леммой-критерием: возьмём ОНБ и покажем, что применение оператора переводит ОНБ в ОНБ. $\square$

Матрица $A$ называется **ортогональной** (над $\mathbb{R}$) или **унитарной** (над $\mathbb{C}$), если $AA^{*} = A^{*}A = E$

Пусть $A$ — квадратная матрица над $\mathbb{R}$ (ортогональность) или $\mathbb{C}$ (унитарность). Эквивалентны: 1. $A$ ортогональна (унитарна): $AA^{*} = A^{*}A = E$ 2. Столбцы $A$ образуют ортонормированный базис 3. Строки $A$ образуют ортонормированный базис

**$(1) \implies (2)$** Так как $A$ унитарна, то по определению ${} A^{*}A = E {}$. Нетрудно заметить, что элемент $(i,j)$ произведения ${} A^{*}A {}$ есть скалярное произведение $i$-го и $j$-го столбцов $A$. Равенство ${} E$ означает $\delta_{ij}$, то есть столбцы ортонормированы. **$(2) \implies (1)$** Рассмотрим оператор $\mathcal{A}$ с матрицей $A$. Ясно, что под действием $\mathcal{A}$ ОНБ переходит в ОНБ, а значит $\mathcal{A}$ - изометрия и $A$ - ортогональная (унитарна) **$(1) \iff (3)$** Применяем $(1) \iff (2)$ к $A^{*}$: $AA^{*} = E \iff$ столбцы $A^{*}$ образуют ОНБ. Столбцы $A^{*}$ суть сопряжённые строки $A$, что эквивалентно ортонормированности строк $A$. $\square$